FreeBASIC TutMathIntroTrig

三角法への簡潔な序論　左にメニュー・フレームが表示されていない場合は、ここをクリックして下さい

---

このチュートリアルの目次:

• 直角三角形
• ピタゴラスの定理
• 三角関数
• 三角関数を適用
• 逆三角関数
• その他の三角関数
• 正弦定理(Law of Sines)、余弦定理(Law of Cosines)、その他の関係

三角法は、三角形の研究です。
三角法について、いろいろ書かれたものがありますが、このチュートリアルで十分でしょう。
三角法は、限られた用途でしか役立たない、と思われるかもしれませんが、 現実や仮想世界の問題で、三角形の創造的なアプリケーションで、解決されることが、たくさんあります。

三角形は、三つの辺を持っていて、それらの辺は、'普通の' 空間 (すなわち、ユークリッド空間)で、3つの角を構成します。その角度の合計は、180度(または、Pi ラジアン)になります。
このチュートリアルでは、'正常な'三角形だけを取り扱います。(他の空間に興味を持っている方々は、非ユークリッド三角形や、非ユークリッド幾何学を、探して下さい。)

直角三角形

初めに、私たちは、直角三角形と呼ばれる、特別なクラスの三角形を、取り上げます。
直角三角形は、一つの角の角度が90度の、三角形です。
三角形の角度の合計は、ちょうど180度でなければなりません。このため、三角形には、90度の角は、1つしかなくて、それは直角三角形で最も大きい角です。
下は、直角三角形の画像を描く、FreeBASIC のコードです。
(チュートリアルの中で、この画像を参照します。)
この画像で、大文字は辺を示しています。そして、これらに対応する小文字は、辺の反対の角を示します。
例えば、角 y は、辺 Y の反対側の角です。


左下の角の小さい四角は、その角が、直角(90度)であることを意味します。
その角の反対側の辺(辺 Z)は、斜辺と呼ばれて、直角三角形の最も長い辺です。

ピタゴラスの定理

ほとんどの人が、最初に学ぶ三角法は、ピタゴラスの定理として一般的に知られている関係です。
それは、直角三角形の斜辺の長さ二乗が、他の2つの辺の長さの二乗の和と等しい、というものです。
方程式で見ると、より簡単です。

Z^2 = X^2 + Y^2

以下は、この定理の簡単な応用例です。
プレーヤー1は、印をつけた場所(起点)の 100メートル真東で、プレーヤー2は、同じ起点の真北 150メートルであれば、プレーヤー1 と 2は、どれくらい離れていますか?

D = SQR (100^2 + 150^2)

三角関数

昔、人々は、三角形の大きさにかかわらず、ある比率がいつも同じであることを、発見しました。
例えば、上の三角形の画像で、三角形の大きさにかかわらず、比率 Y/X は、角 y の角度が45度であれば、いつも同じになります。
これらの比率の収集が、三角関数です。

3つの主要な関数が、正弦(SIN)と、余弦(COS)と、正接(TAN)です。
これらの3つの関数を定義する、多くの異なった方法があります。
1つの方法は、直角三角形の辺の間の関係を使います。

• 正弦 (SIN)は、対象の角度の向かい側の辺の長さと、斜辺の長さの比率です。
  上の三角形で、角度 y の正弦（SIN(y)と書く）は、辺 Y の長さを、斜辺 Z の長さで割った値です。
• 余弦 (COS)は、対象の角度に隣接した辺の長さと、斜辺の長さの比率です。
  上の三角形で、角度 y の余弦（COS(y)と書く）は、辺 X の長さを斜辺 Z の長さで割った値です。
• 正接 (TAN)は、対象の角度の向かい側の辺の長さと、角度に隣接した辺の長さの比率です。
  上の三角形で、角度 y の正接（TAN(y)と書く）は、辺 Y の長さを、辺 X の長さで割った値です。

多くの人々は、記憶を助ける工夫 SOHCAHTOA で、これらの関係を覚えています。(発音は、Sow Cah Toe-a)。 これは、もちろん以下の頭文字です。
SIN = opposite/hypotenuse (対辺/斜辺)
COS = adjacent/hypotenuse (隣辺/斜辺)
TAN = opposite/adjacent (対辺/隣辺)

FreeBASIC には、これらの三角関数と、他の関数があります。

注：直角三角形の辺の名称
http://www4.osk.3web.ne.jp/~moroko/basem/trigo/torigo.html

三角関数を適用

再び、上の三角形の画像を参照して、プレーヤー1が、角 y の近くの点の地面にいて、プレーヤー2が、角 x (地面から離れている)の近くの点にいるとします。
プレーヤー1が、辺 Y からどれだけ離れている(25.2 メートル)か、角 y の値(31.5度)を知って、どれくらい遠くに、地面はプレーヤー2ですか?
プレーヤー1は、プレーヤー2から、どれだけ離れていますか?

これを解決するために、私たちの知っている情報を確認します。
私たちは、角 y の隣辺側が、(25.2メートル)と、y の角度が、(31.5度)であることを知っています。
これは、正接関数を使うために充分な情報です。
TAN ( y ) = 対辺/隣辺 ： TAN(31.5度) = 対辺/25.2メートル
これに少しの代数を使って移項(変形)すると、
対辺 = TAN(31.5度) * 25.2メートル
ここまでで、三角形の斜辺以外の2つの辺の長さが分かったので、プレーヤーの間の距離を見つけるために、ピタゴラスの定理を使うことができます。

あるいは、余弦を使うこともできます。余弦を使って、移項すると、下の結果になります。
COS ( y ) = 隣辺/斜辺 ： 斜辺 = 25.2/COS(31.5度)

これを解決するプログラムを書く前に、FreeBASIC は、他の多くのプログラミング言語と同様に、度ではなく、ラジアンで動作することを、思い出して下さい。(角度を測定する異なった方法を参照下さい。)

下の、FreeBASIC のコードで、答えを得ることができます。


上のコードを実行すると、プレーヤー2 は、地面から約15.4メートル、プレーヤー1 から、斜辺に沿って約29.5メートル離れたところにいる、と示します。

逆三角関数

直角三角形の2つの辺の長さを知っていて、角度を知りたいときは、どうすればよいでしょう。
そんなとき、逆三角関数を使うことができます。

• ArcSine (または、逆正弦)
  
• ArcCosine (または、逆余弦)
  
• ArcTangent (または、逆正接)

例えば、上の例題を少し変えて、プレーヤー2が、地面から30メートルで、プレーヤー1から斜辺に沿って50メートル離れたところにいたなら、角 y の角度は何ですか?
三角関数の中から、正弦関数(対辺と斜辺)を使うと良いと思われます。
SIN ( y ) = 対辺/斜辺 ： ArcSine (対辺/斜辺) = y.


上のコードは、約0.6435のラジアン(約36.9度)の角度を表示します。
FreeBASIC では、以下の逆三角関数が準備されています。

• ASIN (arcsine)(逆正弦)
  
• ACOS (arccosine)(逆余弦)
  
• ATN (arctan)(逆正接)
  (別に、ATAN2 があります。三角形の対辺と、隣辺を、比率ではなく、カンマで区切った座標として与えます。)

編集者注：
ATN は、引数の逆正接を -Pi/2 から Pi/2 の範囲の Double で返します。
ATAN2 は、y/x の比の逆正接を -Pi から Pi の範囲の Double で返します。

その他の三角関数

上の関数で定義されるものとは別の、他の三角関数があります。
下のいずれも、FreeBASIC では定義されていませ。

• Secant (sec(y)) は、 1/COS(y)
• Cosecant (csc(y)) は、 1/SIN(y)
• Cotangent (cot(y)) は、 1/TAN(y)

これらは、それぞれ、また、逆(または、arc)の関数があります。

正弦定理(Law of Sines)、余弦定理(Law of Cosines)、その他の関係

上記のすべては、直角三角形を前提としていました。しかし、これは基本的な三角関数について説明するものです。
以下は、直角三角形だけを対象にしません。
どんな三角形でも、これらの恒等式は有効です。

正弦定理 (Law of Sines)
SIN (y)/Y = SIN (x)/X = SIN (z)/Z

余弦定理 (Law of Cosines)
Z^2 = X^2 + Y^2 - 2*X*Y*COS(z)

他の恒等式

SIN^2(y) + COS^2(y) = 1
これは、右と同じです。SIN(y)*SIN(y) + COS(y)*COS(y) = 1

TAN(y) = SIN((y)/COS(y)

他にも、いくつかの、役に立つ恒等式があります。
三角形に関する恒等式について、検索したり、あるいは、より高度な数学の参考資料も、ご覧ください。